Alguns símbolos antigos
No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:
| I | II | III | IIII | IIIII | IIIIII | IIIIIII | IIIIIIII | IIIIIIIII |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:
| I | II | III | IIII | IIII
I | IIII
II | IIII
III | IIII
IIII | IIII
IIII I |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:
Como se lê uma fração
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...
| um meio | dois quintos | ||
| um terço | quatro sétimos | ||
| um quarto | sete oitavos | ||
| um quinto | quinze nonos | ||
| um sexto | um décimo | ||
| um sétimo | um centésimo | ||
| um oitavo | um milésimo | ||
| um nono | oito milésimos |
Classificação das frações
Fração própria: o numerador é menor que o denominador: fr5.gif (228 bytes)" src="http://www.blogger.com/fr5.gif" align="middle" width="70" height="41">
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. fr6.gif (999 bytes)" src="http://www.blogger.com/fr6.gif" align="middle" width="70" height="41">
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. fr7.gif (271 bytes)" src="http://www.blogger.com/fr7.gif" align="middle" width="78" height="41">
Números fracionários
Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?
5 . X = 1
Substituindo X, temos:
X por 0 temos: 5.0 = 0
X por 1 temos: 5.1 = 5.
Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.
Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.
Portanto, uma fração 
(n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário .
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = 
, pois 
.
Adição e subtração de números fracionários
Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações 
.
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.
 (10:5).4 = 8 |  (10:2).5 = 25 |
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
Adição e subtração de números fracionários
Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.
| (10:5).4 = 8 | (10:2).5 = 25 |
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
Potenciação e radiciação de números fracionários
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
Algarismos Romanos
A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente:
- Nos números de capítulos uma obra.
- Nas cenas de um teatro.
- Nos nomes de papas e imperadores.
- Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias...
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Dízimas periódicas Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo: Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Observações: Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos:
Dízima Composta:
Exemplos:
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PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
-
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 -
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 -
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
| Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. |
Exemplos:
-
Calcular 10% de 300.
-
Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXERCÍCIOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
| Acréscimo ou Lucro | Fator de Multiplicação |
| 10% | 1,10 |
| 15% | 1,15 |
| 20% | 1,20 |
| 47% | 1,47 |
| 67% | 1,67 |
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
| Desconto | Fator de Multiplicação |
| 10% | 0,90 |
| 25% | 0,75 |
| 34% | 0,66 |
| 60% | 0,40 |
| 90% | 0,10 |
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